Составные балки и перемещения при изгибе - Кинематические граничные условия

Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента М_х(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 3. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке

Рис.3. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент М_xпоявившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

(7)

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

 

а с учетом дифференциального соотношения Q_y=dM_x/dz,получаем

(8)

Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=M_x/EJ_x, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра М_x, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

Рис.4.Расчетная схема балки, содержащая n углов