Расчет прочности по нормальным сечениям изгибаемых железобетонных элементов прямоугольного профиля

5.1. Элементы прямоугольного сечения с одиночным армированием.

Прочность изгибаемых железобетонных элементов любого симметричного профиля по нормальным сечениям, согласно первой группе предельных состояний, рассчитывают по III стадии напряженно-деформированного состояния. В расчетной схеме усилий принимают, что на элемент действует изгибающий момент М, вычисляемый от расчетных значений нагрузок, а в арматуре и бетоне действуют усилия, соответствующие напряжениям, равным расчетным сопротивлениям.

 

В целом при выводе расчетных зависимостей принимаются следующие расчетные предпосылки:

1) в бетоне сжатой зоны криволинейную эпюру напряжений заменяют прямоугольной, что несущественно влияет на результаты расчета; величина напряжений в сжатом бетоне принимается равной R_b – расчетному сопротивлению бетона при сжатии;

2) работой растянутого бетона пренебрегают полностью, что соответствует стадии разрушения конструкции;

3) все растяжение в стадии Ш воспринимает арматура; при этом напряжения в растянутой арматуре принимают равными расчетному сопротивлению стали R_s ;

4) в основу расчета принят первый случай разрушения, как для нормально армированного сечения, то есть принято выполняющимся условие : x £ x_R .

Здесь x=х ¤ h_o ¾ относительная высота сжатого бетона x_R

Значение относительной граничной высоты сжатой зоны x_R для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений определяют по формуле (25) СНиП 2.03.01-84 как:

x_R=w/(1+(1-w/1.1)s_sR/s_scu).

Равнодействующие нормальных напряжений в арматуре и бетоне равны, соответственно:

N_s=R_sA_s;

N_b=R_bA_b;

где A_b = b×xпредставляет собой площадь сжатой зоны бетона.

Вывод условия прочности.

В соответствии с общими условиями МПС прочность элемента достаточна, если внешний расчетный изгибающий момент М не превосходит расчетной несущей способности сечения выраженной в виде обратно направленного момента внутренних сил М_per, то есть

T(g, v, g_n, C)£ Т_per(S, R_b, g_bi, R_s, g_si),

где T(g, v, g_n, C = М ;

Т_per(S, R_b, g_bi, R_s, g_si) = М_per.

Для определения расчетного выражения для М_per используем закон равновесия моментов в сечении, известный из «Строительной механики»: SМ_i = 0.

Если указанный закон записать относительно оси, проходящей через точку приложения равнодействующей усилий во всей растянутой арматуре, то условие прочности выразится неравенством

M £ R_{b ×}×b ×x× (h_o – 0,5x) (1)

Полученное выражение и будет искомым условием прочности нормального сечения изгибаемого железобетонного элемента с одиночным армированием.

Если применить закон равновесия моментов относительно центра тяжести сжатой зоны бетона (то есть точки приложения равнодействующего усилия в сжатом бетоне), то условие прочности выразится неравенством другого вида:

M £ R_s××As × (h_o – 0,5x) (2)

Здесь z_b = h_o – 0.5x представляет собой плечо внутренней пары сил (см. рис.9).

Для практического применения формулы прочности (1) либо (2) необходимо вначале определить высоту сжатого бетона Х. Для решения этой проблемы удобно воспользоваться условием равновесия продольных сил в сечении изгибаемого элемента SN_i = 0. Из расчетной схемы рис. 9 по этому закону получим:

b x R_b = R_s××A_s . (3)

Отсюда легко может быть найдена высота сжатого бетона

х = (4).

Для обеспечения требования СНиП необходимо выыплнить проверку :

x = . (5)

Только в том случае, когда указанное условие выполнено, найденное значение х может быть подставлено в условие прочности (1) либо (2), приведенные выше, для проверки прочности сечения.

Если условие прочности выполнено, прочность обеспечена, то есть элемент не разрушится при действие на сечение внешнего момента М.

В противном случае элемент разрушится при действии на сечение момента М.

Следует обратить внимание, что проверяют лишь одно из условий прочности, так как они тождественны.

Примечание.

На этом вывод условия прочности заканчивается.

Далее будет рассмотрено, как пользоваться полученными формулами при решении практических задач.

 

 Для удобства расчетов при проектировании конструкций составлены таблицы, в которые вошли значения таких расчетных параметров:

- относительная высота сжатого бетона x ;

- относительное плечо внутренней пары сил h = 1 – 0.5x ;

- коэффициент a_m = x(1 - 0.5x), характеризующий напряженность сечения.

Следует отметить, что все указанные параметры взаимосвязаны с помощью приведенных зависимостей, поэтому при выполнении расчетов очень удобно по одной из величин, найденной в процессе расчета, из таблиц находить соответствующие два других параметра.

Фрагмент таблицы поможет понять, как это делать:

x
0.25	0.875	0.219
0.26	0.87	0.226

Для промежуточных значений применять интерполяцию.

Используя полученные относительные величины x, h, a_m, расчетные формулы прочности (1 ¸ 2) преобразовывают к виду:

M £ a_m×R_{b ×}×b ×h_o² (1а)

M £ R_s××A_s × h_o×h (2а)

5.2. Решение практических задач при помощи таблиц.

С помощью полученных формул могут быть решены задачи двух типов:

- тип 1 – проверка прочности заданного сечения.

Постановка задачи:

Задано: внешний расчетный момент М и все параметры сечения (размеры, материалы, армирование).

Требуется: проверить условие прочности при действии на сечение заданного момента М.

 

 

Последовательность решения задачи:

1) из выражения (3) находим высоту сжатого бетона х;

вычисляем и проверяем требование СНиП x = .

Если требование выполнено, продолжаем расчет;

2) из указанных таблиц по величине x находим соответствующие значения a_m и h.

3) подставляем все известные величины в условие (1а) или (2а).

Если условие выполнено, прочность обеспечена, то есть элемент не разрушится при действии на него момента М.

Если не выполнено - произойдет разрушение, то есть прочность сечения не обеспечена.

- тип 2 – подбор сечения изгибаемого элемента по заданному моменту.

Примечание. Обращаем внимание на то, что здесь рассмотрим частный (более простой) случай этой задачи. Общий случай задачи типа 2 см. в учебнике.

Постановка задачи:

Задано: внешний расчетный момент М и размеры сечения b и h.

Требуется: определить площадь рабочей продольной арматуры А_s.

Последовательность решения задачи:

1) определить из ф.(1а) a_m=М/R_bbh_o²; из таблиц найти соответствующие значения x и h;

Примечание. Рабочую высоту сечения h_о принимать как h_o = h – a_s, где a_s принимать предварительно равной 30¸70мм;

2) проверить требование СНиП x = . Только втом случае, если указанное требование выполняется, можно продолжить расчет далее.

2) определить требуемую площадь арматуры из формулы (2а):

A_s = M / (h×h_o×R_s).

3)подобрать по сортаменту арматуру так, чтобы фактическая ее площадь была не меньше требуемой A_s;

4) проверить процент армирования сечения m = А_s^факт / А_{b .}

Здесь А_b – площадь бетона сечения с учетом рабочей высоты сечения h_o. Например для прямоугольного сечения А_b = b×h_o .

Он должен находиться в оптимальных пределах. В противном случае необходимо изменить размеры сечения или материалы и повторить расчеты заново;

5) законструировать сечение, то есть расположить принятые стержни в сечении с соблюдением требований СНиП к толщине защитного слоя бетона и «просвету» между стержнями (см. лекцию 4).

5.3. Элементы прямоугольного сечения с двойным армированием

 

Целесообразность применения двойного армирования в изгибаемых железобетонных элементах.

Если в изгибаемом элементе предусматривается продольная арматура в сжатой (при действии нагрузки) зоне (с R_sc£400 МПа), учитываемая в расчете, то такие элементы называют с двойным армированием.

В сжатом бетоне арматура деформируется совместно с бетоном вплоть до разрушения в отличие от арматуры , расположенной в растянутом бетоне. Однако в связи с тем, что предельная деформация бетона при сжатии составляет e_б,пред = 2×10^-3, максимальное напряжение в арматуре в стадии разрушения сжатого бетона может составлять s = 2×10⁵МПа×2×10^-3 = 400Мпа. (Здесь 2×10⁵МПа – средний модуль упругости арматурных сталей). Следовательно в сжатой зоне невыгодно использовать высокопрочную сталь, так ее прочность не может быть использована.

Однако есть две причины, по которым оказывается целесообразным применять двойное армирование в изгибаемых железобетонных конструкциях.

Во-первых, это такие конструкции, на которые попеременно может действовать изгибающий момент противоположных знаков, вызывающий попеременное растяжение то верхней, то нижней граней сечения. Тогда необходимо располагать арматуру у обоих граней сечения, то есть применять дойное армирование.

Во-вторых, двойное армирование целесообразно в тех случаях, когда требование СНиП x = не обеспечивается, а высоту сечения h_o невозможно увеличить из каких-либо соображений ( например, по требованиям архитектора или др.). Тогда применение двойного армирования позволит добиться выполнения требования Норм при ограниченной высоте конструкции.

Именно в этих двух случаях двойное армирование целесообразно (рис.10).

Наличие расчетной арматуры в сжатом бетоне приводит к необходимости применения дополнительных требований к конструированию таких конструкций, а именно:

для предотвращения выпучивания продольных стержней поперечную арматуру ставят: в сварных каркасах не более 20d, в вязанных каркасах - 15d (d - наименьший диаметр продольных сжатых стержней) и не более 500 мм. Такой случай необходимости постановки рабочей арматуры в сжатой зоне наиболее часто встречается при несоблюдении условия x£x_R в элементе с одиночной арматурой.

Условие прочности для изгибаемых элементов с двойным армированием.

Расчетные предпосылки для элементов с двойным армированием те же, что и с одиночным. Только к ним добавляется еще одна, а именно:

Напряжение в сжатой арматуре в предельной стадии принимаются равными R_sc.

Условие прочности запишется в виде (при отсутствии напрягаемой арматуры в сжатой и растянутой зонах):

M£R_bbx(h_o-0.5x)+R_sсA_s‘(h_o-a’) (6)

Вспомогательное условие равновесия продольных сил, которое позволяет находить высоту сжатого бетона, имеет вид:

R_bbx = R_sA_s - R_sсA_s‘ (7)

При этом должно соблюдаться условие:

x £ x_R,

где .

В условиях применения бетонов класса B30 и ниже в сочетании с арматурой класса не выше А-III можно условие прочности представить в виде:

M=a_RR_bbh _o²+ R_sсA_s‘(h_o-a’); (6-а)

в которой a_R=a_m определяют для значения x = x_R.

При подборе сечений с двойной арматурой по заданным моменту, классу бетона и арматуры возможны два варианта задачи второго типа:

1-й вариант:

Задано: момент М, размеры b и h,

требуется определить площади сечения арматуры A_s и A_s^’.

Принимая х=x_R × h_o, то есть полагая полное использование возможностей сжатого бетона, определяем требуемую площадь сжатой арматуры A_s^’:

A_s’ = (M-a_RR_bbh _o²) / [R_sс(h_o-a_s’)];

Из условия (7) равенства нулю суммы проекций всех сил на продольную ось элемента получим:

A_s = (R_sсA_s‘ + x_RR_bbh _o) / R_{s .}

2-й вариант:

Задано: момент М, размеры сечения b и h, и площадь сечения сжатой арматуры A_s‘, требуется определить площадь сечения растянутой арматуры A_s.

Решение :

 

Из формулы (6-а) находим

a_m = [M - R_sсA_s‘(h_o-a_s’)] / R_bbh_o².

Если a_m£a_R, по таблицам находят x и вычисляют требуемую площадь растянутой арматуры:

A_s=(R_sсA_s‘+xR_bbh _o)/R_{s .}

 

Примечание.

Если окажется a_m>a_R, это означает, что заданного количества A_s‘ недостаточно.

Требуется прекратить решение этой задачи, считать, что арматура A_s‘ не известна, и перейти к решению первого варианта задачи. То есть найти требуемую площадь ее по общим правилам.